Optimal F

OPTIMAL F

Note: il est recommandé de commencer par lire la page Un peu de Maths avant d'entreprendre l'étude de l'optimal F.

L'optimal F est le pourcentage du capital affecté à un trade particulier qui sera effectivement exposé au marché.

Pour notre exposé, nous supposerons que nous sommes conviés à un jeu de pile ou face, dans lequel nous recevons deux fois notre mise en cas de gain, et ou nous perdons notre mise en cas de perte.

1000 unités nous sont allouées.

Si nous jouons 50 unités et gagnons, nous recevrons 100 unités et notre avoir sera de 1100 unités.

Si nous jouons 50 unités et perdons, nous donnons ces 50 unités et notre avoir sera de 950 unités.

Le problème consiste à déterminer le pourcentage de notre avoir a jouer à chaque coup pour optimiser notre résultat.

Notre espérance de gain est de 0.5 * 2 - 0.5 * 1 = 0.5 est positive.

Appelons p% notre probabilité de gain, (1-p)% celle de perdre, w% (win) le gain en pourcentage du montant de l'opération, et l% (lose) la perte en pourcentage du montant de l'opération.

n est le nombre total de coups joués.

Le gain total sera:

Gain = Capital * ( 1 + w% * f )^p%*n * ( 1 - l% * f )^(1-p)%*n

Le premier terme ressemble à la formule des intérêts composés en mathématiques financières.

w% * f représente le gain pour la partie du capital qui est effectivement misée.

p% * n représente le nombre de jeux gagnants ( p% du total).

En résumé, nous avons deux séries tirant chacune le Gain dans des directions opposées.

Le problème, maintenant, va donc consister à déterminer le f qui maximise le gain.

Nous savons ( nous avons peut-être su ) qu'il suffit d'annuler la dérivée après l'avoir transformé en logarithmes.

Rappel: log(a*b) = log(a) + log(b) et log(x^y) = y*log(x)

Donc,

log(Gain) = p% * n * log(1 + w% * f) + (1-p)% * n * log( 1 - l% * f)

Dérivées première nulle, dérivée seconde négative donnent un maximum.

Rappel: log(u)' = u'/u log(u*v)' = u'*v + u*v'

Ce qui donne après simplifications:

f = ( p% / l%) - ( (1-p)% / w%)

Ouf .....

Applications:

1- Dans l'exemple de départ, nous remplaçons les lettres par leur valeur, et nous obtenons:

f = 0.5 / 1 - 0.5 / 2 = 0.25

qui indique que le pourcentage du capital (ici 1000) à jouer à chaque coup sera de 25% pour maximiser l'espérance de résultat.

2- Supposons que les règles changent et qu'il soit nécessaire de miser 2 pour gagner 2 ou perdre 1.

Le risque n'a pas changé, mais le capital nécessaire pour jouer a doublé. que devient notre f ?

f = 0.5 / 0.5 - 0.5 / 1 = 0.50

La formule nous indique qu'il faut jouer 50% de notre capital à chaque coup. Cela répond à la nécessité de conserver identique la séquence des gains du premier exemple.

Il faut miser plus pour gagner la même chose.( Notre effet de levier a diminué).

3- Supposons, maintenant, pour changer un peu, que nous achetions une action 100 unités, que nous avons placé un stop de protection à 90 et une vente stop à 120. Supposons toujours, que les tests effectués sur nos historiques montre que notre système nous permet d'espérer toucher avec la même probabilité les deux stops.

Soit 50% de vendre à 90 et 50% de vendre à 120.

Calculons l'optimal F:

f = 0.5 / 0.1 - 0.5 / 0.2 = 2.50

Cela signifie que le capital prévu n'est pas suffisant, et que compte tenu des capitaux nécessaires, il faut utiliser l'effet de levier.

Remarques importantes:

1- La composante temps n'est pas utilisée, ce qui signifie que l'on peut éventuellement trouver d'autres "jeux" permettant de gagner "plus vite".

2- Dans le jeu de pile ou face, les probabilités sont certaines. En bourse, elles représentent l'espérance que le futur ressemblera au passé, ce qui n'est pas assuré.

3- La notion de risque n'est absolument pas abordée. Certains auteurs ont essayé d'y remédier en utilisant d'autres formules comme le Secure F.

Sites recommandés:

http://www.portfolioinsight.com/optimalf.htm

Gary Fritz a placé un fichier Excel qui permet de calculer l'Optimal F d'une autre manière:

ftp.frii.com/pub/fritz/Optf-fritz.zip

ftp.frii.com/pub/fritz/Optf-futurmag.zip